PHẦN 1 : ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A.Qui tắc cộng, qui tắc nhân :
1.Qui tắc nhân : 1 công việc A được chia thành nhiều giai đoạn (gắn liền nhau) thì số cách chọn công việc A là tích các giai đoạn
VD: có 3 mặt đồng hồ (tròn, vuông, elip) và 4 loại dây (da, nhựa, kim loại, vải). Hỏi có bao nhiêu cách chọn 1 cái đồng hồ
Giải : chọn đồng hồ gồm 1 mặt và 1 dây
Chọn mặt : có 3 cách
Chọn dây : có 4 cách
Vậy số cách chọn đồng hồ là : 3 x 4 = 12 cách
Bài tương tự :
1/ Bạn A có 5 quần tây và 6 áo sơ mi. Hỏi bạn A có bao nhiêu cáhc mặt đồng phục đến trường ?
2/ Từ các chữ số 1, 3, 5, 6, 7 ,8, 9 có thể lập bao nhiêu :
a.Số có 4 chữ số b.Số có 4 chữ số đôi một khác nhau
c.Số chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau
d.Số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau
2.Qui tắc cộng : công việc A được chia thành nhiều trường hợp thì số cách chọn công việc A là tổng các trường hợp (qui tắc công ít gặp hơn qui tắc nhân)
B.Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp :
1.Hoán vị : sắp xếp n phần tử 1 cách thứ tự ta có 1 hoán vị của n phần tử
Kí hiệu : ( :đọc là n giai thừa)
Qui ước : 1!=0!=1 Công thức : n!=(n-1)!.n
VD: sắp xếp 4 người ngồi vào 1 bàn gồm 4 ghế là 1 hoán vị của 4 phần tử :
cách chọn
Chú ý :
Hoán vị theo 1 đường thẳng (bàn thẳng) là hoán vị thẳng, có cách
Hoán vị theo 1 đường tròn (bàn tròn) là 1 hóan vị tròn, có cách
Bài tương tự : Có bao nhiêu cách xếp 4 người :
a/ Ngồi dọc thành 1 bàn dài 4 ghế
b/ Ngồi dọc thành 1 bàn tròn 4 ghế
2.Chỉnh hợp : cho n phần tử, ta chọn ra k phần tử nào đó ( ) sau đó sắp xếp có thứ tự ta được 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử
Kí hiệu : ( )
VD: có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn lấy ra từ 6 bóng đèn cho trước
Giải : ta chọn 3 bóng từ 6 bóng sau đó sắp xếp có thứ tự nên số cách chọn là 1 chỉnh hợp chập 4 của 6 :

Ta cần lưu ý cách chia giai thừa :
VD : , ,
3.Tổ hợp : cho n phần tử, ta chọn ra k phần tử nào đó ( ) sau đó sắp xếp không cần thứ tự ta được 1 tổ hợp chập k của n phần tử
Kí hiệu : ( )
Công thức bổ xung : , , ( côngthứcpascal)
VD: 1 giỏ bông gồm 4 hồng và 5 lan. Chọn ra 3 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu:
a/ 4 bông bất kì (không phân biệt thứ tự)
b/ 4 bông trong đó có 1 hồng và 3 lan
Giải :
a/ Chọn 4 bông bất kì từ 9 bông ( gồm hồng và lan ) ta được 1 tổ hợp chập 4 của 9 :
b/ ta chia làm 2 bước : chọn 1 hồng (từ 4 hồng) :
chọn 3 lan (từ 5 lan) :
vậy số cách chọn là : x =………..
Bài tương tự :
Bài 1: Lớp học có 25 học sinh trong đó có 11 nam. Chọn ra 5 bạn đi trực nhật, hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu :
a/ 5 bạn không phân biệt nam nữ b/ 3 nam và 2 nữ
d/ 1 nam và 4 nữ e/ có nhiều nhất 2 nữ
f/ có ít nhất 3 nam g/ An và Bình không được tham gia
Bài 2:Các đa giác sau đây có bao nhiêu đường chéo :
a.Ngũ giác lồi b.đa giác lồi 12 cạnh c.đa giác lồi n cạnh
Bài 3: trong mặt phẳng có n điểm và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có boa nhiêu cách lập tam giác
C.Nhị thức NewTon : (dùng để khai triển hằng đẳng thức mũ cao)
chú ý cần nhớ :
• số mũ của a : giảm từ n xuống 0
• số mũ của b : tăng từ 0 đến n
•
• Mũ a giảm thì mũ b tăng
• Số hạng thứ k + 1 :
• Số hạng tổng quát ;
• Công thức cần biết :
Chú ý: ( quan trọng )
Bài tập :
1/Khai triển : , ,
2/Cho khai triển
a.tìm số hạng thứ 3,5,8 b.tìm hệ số của số hạng chứa
c.tìm số hạng không chứa x
3/Tìm số hạng không chứ x trong khai triển :
PHẦN 2: XÁC SUẤT
A.Phép thử, không gian mẫu, biến cố :
1.Phép thử : là thử 1 cách ngẫu nhiên, không biết trước kết quả mà chỉ biết tập hết quả.
VD: gieo 1 con súc sắc có 6 mặt là 1 phép thử, ta không biết trước sẽ ra mắt nào nhưng biết chắc chắn số nút gieo được từ 1 6
2.Không gian mẫu : tập các kết quả cúa phép thử, kí hiệu là
VD: gieo 1 con súc sắc 6 có 6 mặt thì không gian mẫu là :
3.Biến cố : là tập con của không gian mẫu
VD: gieo 1 con súc sắc 6 có 6 mặt. Gọi biến cố A:”xuất hiện mặt chẵn” thì
Bài tập tương tự:
1/Gieo 1 đồng tiền cân đối đồng chất 2 lần
a.Xác định không gian mẫu
b.Xác định các biến cố sau :
 A:”kết quả 2 lần gieo như nhau”
 B:”có ít nhất 1 lần x.hiện mặt sấp”
 C:”lần gieo thứ 2 mới xuất hiện mặt sấp”
2/Gieo 1 đồng tiền 3 lần
a.xác định không gian mẫu
b.xác định các biến cố :
 A:”lần đầu xuất hiện mặt sấp”
 B:”mặt sấp xảy ra đúng 1 lần”
 C:”mặt ngửa xảy ra ít nhất 1 lần”
B.Xác suất của biến cố:
Biến cố hợp : hay , Biến cố giao : hay
Biến cố bù : là phần bù của A, kí hiệu
VD: cho không gian mẫu , biến cố A là : thì
Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc khi
Xác suất của biến cố A : , với là số phần tử trong A; là số phần tử trong
VD: gieo 1 con súc sắc vô tư ta được không gian mẫu là : .tính xác suất để được : a/ biến cố A là số lẻ b/ biến cố B là 1 số lớn hơn 4
Giải:
a/ Ta có nên
b/ Ta có nên
Bài tập tương tự :
1/Trong 1 bình đựng 6 viên bi giống nhau trong đó có 4 bi xanh và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất để được 2 bi xanh
2/Gieo ngẫu nhiên 1 con súc sắc cân đối và đồng chất 2 lần
a.Mô tả không gian mẫu
b.xác định các biến cố sau :
A:” Tổng số chấm 2 lần gieo không bé hơn 10”
B:” mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần”
c.tính P(A), P(B) ?
C.Tính chất xác suất :
1.Định lý 1: a) Với mọi xác suất ta đều có :
b)
c) nếu 2 biến cố A và B xung khắc thì

2.Định lý 2 : là biến cố bù của A, tức là thì ta luôn có
3.Công thức công xác suất : với 2 biến cố A và B bất kì ta luôn có :

Khi A,B xung khắc thì suy ra nên trở về định lý 1

PHẦN 3: TỔNG HỢP CÁC ĐỀ THI ĐH
Bài 1: Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên :
a/ gồm 6 chữ số đôi một khác nhau
b/ số lẻ gồm 5 chữ số đôi một khác nhau
c/ số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau
d/ số gồm 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5
Bài 2:
a)Cho 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ các chữ số đã cho.
b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số đôi 1 khác nhau, đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ.
c) Có 2 giáo viên toán và 10 giáo viên sử. Hỏi có bao nhiêu cách lặp một ban công tác gồm 8 người mà trong đó phải có ít nhất 1 giáo viên toán.
d) Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cô giáo muốn chọn ra 1 tốp ca gồm 5 em, trong đó có ít nhất 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
e) Một toán học sinh gồm 4 trai, 3 gái. Chọn ra 3 em trong đó có ít nhất 1 trai, 1 gái. Hỏi có bao nhiêu cách chọn.
f) Một lớp có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ GVCN muốn chọn 4 em vào ban trật tự. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu phải có ít nhất 1 nam.
g) Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết 9?
h) Có 9 viên bi xanh, 5 bi đỏ, 4 bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ?
k) Có 9 viên bi xanh, 5 bi đỏ và 4 bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ.
l) Có 5 học sinh được xếp vào một bàn tròn. Tính số cách xắp xếp 5 học sinh đó vào bàn tròn đó.
m) Có 40 quả táo, trong đó có 5 quả bị sâu. Có bao nhiêu cách chọn 5 quả táo mà trong đó có ít nhất một quả sâu?
n) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn A, B, C, D, E vào một ghế dài sao cho hai bạn A, E ngồi ở 2 đầu ghế.
Bài 3: ( ĐH Đà Nẵng – 1997 ) Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ. Cần lấy 1 nhóm 5 người trong đó có 2 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
Bài 4: ( ĐH Thái Nguyên – 1997 ) Một lớp 40 học sinh trong đó có 25 nam và 15 nữ. Thầy chọn ra 3 học sinh đi tham gia tố chức lễ khai giảng. Hỏi có bao nhiêu cách :
a/ Chọn ra 3 học sinh trong lớp
b/ Chọn ra 3 học sinh trong đó có 1 nam và 2 nữa
c/ Chọn ra 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam
Bài 5: ( ĐH Dân Lập Đông Đô – 1999 ) Trong một mp cho 9 đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng song song khác thì có bao nhiêu hình bình hành được tạo nên ?
Bài 6: ( ĐH Quốc gia TP.HCM – 2000 ) Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ người ta muốn chọn ra 1 bó gồm 7 bông
1/ Có bao nhiêu cách chọn bó bông nếu chỉ có đúng 1 bông hồng
2/ Có bao nhiêu cách chọn bó bông trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ ?
Bài 7: : Từ 1 tập thể 8 người gồm 5 nam và 3 nữ , hỏi có bao nhiêu cách chọn một tổ công tác gồm 4 người thoả điều kiện, trong mỗi trường hợp sau:
1 . Không có điều kiện gì thêm.
2. Tổ chỉ gồm 4 nam
3. Tổ phải gồm 2 nam và 2 nữ.
Bài 8: Giải các pt , bpt sau :
1/ 2/ 3/
4/ 5/ 6/
7/ 8/ ( Tốt Nghiệp THPT – 2007 )
9/ 10/ 11/
12/ 13/ 14/
15/ Tìm số nguyên dương n sao cho
16/
Bài 9: tìm số hạng không chứa x trong khai triển :
1/ 2/ 3/
Bài 10: Cho các số: 1,2,4,6,8,9
Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số khác nhau đôi một
Bài 11: rút gọn biểu thức sau :
Bài 12: ( ĐH GTVT – 99 ) Gieo đồng thời 3 đồng xu đối xứng và đồng chất. Tính xác suất để ít nhất 1 mặt sấp xuất hiện
Bài 13: ( ĐH Đà Nẵng -97 ) Một tổ sinh viên có 6 nam và 5 nữ. Chọn ra 4 sinh viên đi lao động. Tính xác suất sao cho:
1/ Trong đó có 1 nữ 2/ Có không quá 3 nữ
Bài 14: ( Cao Đẳng Hải Quan – 98 ) Một hộp chứa 12 bóng đèn trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất để được :
a/ 3 bóng tốt b/ ít nhất 2 bóng tốt
Bài 15: Có 4 tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫn nhiên 3 tấm.
a) Mô tả không gian mẫu
b) Xác định các biến cố sau :
A:” Tổng các số trên 3 tấm bìa = 8 “
B: “ Các số trên 3 tấm bìa là các số tự nhiên liên tiếp “
c) Tính P(A) ; P(B) ?
Bài 16: Một hộp có 6 quả cầu trắng, 4 quả câu đen, lấ ngẫu nhiên đồng thời 4 quả. Tính xác suất cho :
a) Bốn quả lấy ra cùng màu
b) Có ít nhất một quả màu trắng
Bài 17: Gieo Đồng thời hai con súc sắc
a) Mô tả không gian mẫu
b) Xác định các biến cố sau và tính xác suất của chúng :
A:” số nút trên 2 súc sắc là như nhau “
B:” Mặt 5 chấm xuất hiện ở súc sắc thứ nhất “
C:”Tổng số chấm bé hơn 10”
D:”Tích số chấm là số lẻ”
E:”Ít nhất 1 lần xuất hiện mặt 6 chấm”
Bài 18: Gieo 3 đồng xu cân đối. tính xác suất để :
a) Cả 3 đồng xu đều sấp
b) Có ít nhất 1 đồng xu sấp
c) Có đ1ung 1 đồng xu sấp
Bài 17: Một câu lạc bộ có 25 thành viên.
a) Có bao nhiêu cách chọn 4 thành viên vào Ủy ban Thường trực ? (ĐS: 12650)
b) Có bao nhiêu cách chọn Chủ Tịch, Phó Chủ tịch và thủ quỹ ? (ĐS:13800)
Bài 18: Trong không gian cho 9 điểm trong đó không điểm nào đồng phẳng. Hỏi có thể lập bao nhiêu tứ diện ? ( ĐS :126)
Bài 19: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho :
a) Đôi một khác nhau b) Số lẻ đôi một khác nhau
c) Số chẵn đôi một khác nhau c) chia hết cho 5
Bài 20:
a) Trong khai triển . Tìm hệ số của số hạng chứa
b) Tìm hệ số trong khai triển
c) Biết hệ số của trong khai triển là 95. Tìm n
d) Từ khai triển .Tìm tổng các hệ số của khai triển
e) Tìm số hạng không chứa trong khai triển nhị thức , biết rằng
f) Tìm hệ số của trong khai triển của
g) Tìm hệ số của trong khai triển nhị thức Niutơn của
biết rằng



Bài 21: Chọn ngẫu nhiên 1 số nguyên dương nhỏ hơn 9. Tính xác suất để :
a) Số được chọn là số nguyên tố b) Số được chọn chia hết cho 3
Bài 22: Một túi xách có 4 quả cầu đỏ, 6 quả cầu xanh. Chọn ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất để trong 4 quả cầu đó có cả màu đỏ và màu xanh ( ĐS : 97/105)
Bài 23: Cho P(A)=0,3;P(B)=0,4 và P(AB)=0,2. Hỏi 2 biến cố A và B có :
a) Xung khắc nhau không b) Độc lập vơi nhau không ?
Bài 24: Giải hệ phương trình:

Bài 25: Một tổ trực gồm 9 nam sinh và 5 nữ sinh. Giáo viên muốn chọn 4 học sinh trực thư viện. Có bao nhiêu cách chọn như thế nếu:
a/ Chọn học sinh nào cũng được
b/ Có đúng 1 nữ sinh được chọn
c/ Có nhiều nhất 3 nữ sinh được chọn
d/ Có ít nhất 1 nữa sinh được chọn
Bài 26: Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó 10 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho.
1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.
Bài 27: ( Cao Đẳng Hải Quan – 2000 ) Giải pt :
Bài 28: Chứng minh sự chia hết :
1/ chia hết cho 100 2/ chia hết cho 3
Bài 29: Chứng minh rằng:
a)
b) Cnk + 2Cnk-1 + Cnk-2 = Cn+2k
c)Cnk + 3Cnk-1 + 3Cnk-2 + Cnk-3 = Cn+3k
d) Cnk + 4Cnk-1 + 6Cnk-2 + 4Cnk-3 + Cnk-4 = Cn+4k
Bài 30:
a)Một lớp có 45 học sinh trong đó có 25 nữ, giáo viên kiểm tra bài cũ 2 học sinh. Xác suất để không có học sinh nữ nào là bao nhiu
b) Gieo đồng thời 2 con súc sắc. Tính xác suất để số chấm xuất hiện trên hai con súc sắc hơn kém nhau 2
c) Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương nhỏ hơn 21.Xác suất để số được chọn chia hết cho 5 là bao nhiu ?
d) Một hộp bóng đèn có 10 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 bóng đèn. Tính xác suất để lấy ra cả 3 bóng đều tốt.
Bài 31: Một hộp bóng đèn có 10 bóng đèn trong đó có 6 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 3 bóng đèn. Tính xác suất để có ít nhất một bóng tốt
Bài 32: cho T = (1+x)9 + (1+x)10 + (1+x)11 + (1+x)12 ,tìm hệ số x9